史上的三次數學危機

第一次數學危機

歷史背景
畢達哥拉斯（約公元前572年——公元前492年）是一位古希臘的數學家及哲學家，他曾有一句名言「凡物皆數」，意思是萬物的本原是數，數的規律統治萬物。不過要注意的是，在那個年代，他們相信一切數字皆可以表達為整數或整數之比——分數，簡單而言，他們所認識的只是「有理數」。

有趣的有理數
當時的人只有「有理數」的觀念是絕不奇怪的。對於整數，在數線上我們可以知道是一點點分散的，而且點與點之間的距離是一，那就是說，整數不能完全填滿整條數線，但有理數則不同了，我們發現任何兩個有理數之間，必定有另一個有理數存在，例如：1與2之間有1/2，1與1/2之間有1/4等，因此令人很容易以為「有理數」可以完全填滿整條數線，「有理數」就是等於一切數，可惜這個想法是錯的，因為……

畢氏定理、畢氏鐵拳
偉大的時刻來臨了，畢達哥拉斯發現了現時眾所周知的畢氏定理（其實中國於公元前一千一百年已有此定理），從這個定理中，畢達哥拉斯發現了一件不可思議的事，就是腰長為１的等腰直角三角形的斜邊長度，竟然是一個無法寫成為有理數的數。亦即是說有理數並非一切數，存在有理數以外的數，有理數不可以完全填滿整條數線，他們心中的信念完完全全被破壞了，他們所恃和所自豪的信念完全被粉碎。在當時的數學界來說，是一個極大的震撼，也是歷史上的「第一次數學危機」。

新的一頁
原來「第一次數學危機」是「無理數」的發現，不過它還說出了「有理數」的不完備性，亦即有理數不可以完全填滿整條數線，在有理數之間還有「罅隙」，無疑這些都是可被證明的事實，是不能否定的。面對著事實，數學家展開廣闊的胸襟，把「無理數」引入數學的大家庭，令數學更豐富更完備，加添了無理數，數線終於被填滿了。



不過，第二次數學危機又將要來臨了！

第二次數學危機

「飛矢不動」的吊詭
古代的希臘是研究哲學的人聚集的地方，在云云的哲學學派之中，其中一派主張「存在是靜止的，不變的，永恒的，變化與運動只是幻覺。」至於這個主張的理念，不是我們的討論範圍，不過，這個學派的學者之一——芝諾，為了論證運動是幻象，提出了「飛矢不動」的「理論」：箭在每一瞬間都要佔據一定的空間位置，即箭在每一瞬間存在，即箭在每一瞬間都是靜止的，又怎可能動呢？

數學——打破吊詭的武器
當然我們完全明白「飛矢不動」是一個歪論，但數學是一個講究嚴謹的學科，數學家們要從問題的核心「動」作為開始，要證明「飛矢必動」。所謂動是指有速率，而速率便是所走的路程和所用的時間的比，換句話說，要證明箭在每一瞬間都是動即，要證明箭在每一瞬間都有速率，但這是一個難題，因為如何找出每一瞬間的速率呢？

無堅不摧——微積分
要解決每一瞬間的速率（以下稱瞬時速度）的問題，偉大的數學家和物理學家——牛頓（1643–1727），發現了一件無堅不摧的武器——微積分，其中微分便正好可以計算出物體的瞬時速度。這個發現震驚了整個數學界和物理學界，而且除了瞬時速度，微積分更在不同方面有廣泛的應用，並得到了瞬速的發展。不過，好境不常．．．

既不是零又不是非零？
因為微積分必須要考慮所謂「無窮小量」的問題，所謂「無窮小量」是指一個「非零而又極接近零的量」，而所謂「極接近零」是指這個量「與零之間不容許有任何空間和距離」，換句話說，「無窮小量」是一個既不是零又不是非零的量，那麼，「無窮小量」是零嗎？如果解不到這個問題，所謂無堅不摧的微積分，便無立足之地，一切由微積分所得出來的完美的數學和物理學上的結果也付諸流水，所以數學史上稱之為「第二次數學危機」。

化危為機
數學是講究嚴謹的學科，數學家必不逃避問題，面對困難，接受挑戰，是數學家的不朽格言。另一位偉大的數學家柯西（1789–1857），重新建立微積分學的基礎——數學分析。數學分析是透過一套嚴格的「數學語言——ε–語言」來說明甚麼是變量、無窮小和極限等的概念和定義，解決了甚麼是既不是零又不是非零的問題，而這次的危機亦安然渡過，並為數學的大家庭增添了一位成員「數學分析」，也提醒了數學家們要繼續要求嚴格，不可鬆懈。

不過，第三次數學危機將要置數學於死地！

第三次數學危機

一個有趣的故事
在村有一位手藝高超的理髮師，他只給村上一切不給自己刮臉的人刮臉，那麼，他給不給自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他是個不給自己刮臉的人，他應當給自己刮臉；如果他給自己刮臉，由於他只給不給自己刮臉的人刮臉，他就不應當給自己刮臉了。他應該如何呢？

數學和哲學界的巨匠——羅素
以上的故事就是著名的「羅素悖論」。羅素（1872–1970）是英國著名的哲學家和數學家，曾獲得諾貝爾文學獎金。他想把算術系統全歸結於邏輯，所以他與懷海德合作寫的一本巨著《數學原理》。

理髮師的威力
羅素的悖論確是給當時正為了微積分的嚴格基礎被建立而歡欣鼓舞的數學家們潑了一盆冷水，但這個理髮師的力量有多大，竟然可以推倒數學大廈呢？在較高等的數學裡，我們會把整個數學的基礎納入「集合論」之中，換句話說，集合論便是數學大廈的基石，所以當集合論中出現矛盾時，建基於此之上的數學大廈也會站不住腳，而羅素的悖論卻是向著這個基石作出致命的一擊，這個「自己既要屬於自己又同時不屬於自己」的矛盾是在集合論中的矛盾，也就是在數學基礎中的矛盾，只要矛盾一日存在，數學大廈也不可穩固，更會在倒塌的危機，這個也是數學的第三次危機。

解鈴還須繫鈴人？
羅素雖然提出了問題，成為危機的製造者，但同時也是危機的解決者，羅素在他的著作之中提出了層次的理論以解決這個矛盾，使得「自己既要屬於自己又同時不屬於自己」不可能出現。不過，這個層次理論十分複雜，所以數學家要把這個方法加以簡化，而先提出的人是策墨羅，他提出了「有限抽象原則」和幾條公理，及後再由弗蘭克和斯柯倫的補充修改，仍成現在在數學上較為流行公理系統——「ZFS公理系統」。這樣不單只解決了羅素的悖論，令數學從回到嚴緊和無矛盾的領域，而且更促使一門新的數學分支——「數學基礎」有著迅速的發展。

數學危機的啟示
在這三次的數學危機中，我們可以看到數學的發展跟面對問題和正視困難是離不開的，透過克服一次又一次的困難而得到「成長」和完善，越是不怕艱辛，收獲便越大。第一次數學危機使人類突破有理數的局限；第二次數學危機從提數學的嚴緊性和誕生了新的數學分支；第三次數學危機警醒人除了發展各式各樣不同的分支以外，還得回看數學的根基本身，使數學邁向更完備。然而，成功並非一朝一夕，必須經歷無數的挫折和失敗，傷心和失望滿佈成功的路上，但只要不放棄，成功依然是可以達到的。另一方面是要從危機中的學習，學習如何應付之餘，還要學習如何避免再次陷入危機之中。